ID: 00024930
Постройте график функции
y=\begin{cases} 2 - |x| & \text{при } x \le 4, \\ -x^{2} + 10x - 25 & \text{при } x \gt 4. \end{cases}
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Источник: Сборник Ященко 2026
Разберёмся с каждым куском графика отдельно.
При x \le 4 это «уголок» y = 2 - |x|: вершина в точке (0;\ 2), ветви идут вниз под 45^\circ. Кусок обрывается в точке (4;\ -2) — она принадлежит графику.
При x \gt 4 заметим: -x^{2} + 10x - 25 = -(x - 5)^{2}. Это парабола ветвями вниз с вершиной (5;\ 0). Обрати внимание: в точке x = 4 она давала бы y = -1, но эта точка выколота (x \gt 4 строго).
Прямая y = m горизонтальна. Посчитаем, сколько точек она даёт на каждом куске.
Уголок: при m \gt 2 — ни одной точки; при m = 2 — одна (вершина); при -2 \le m \lt 2 — две (правая точка пересечения x = 2 - m ещё не выходит за x = 4); при m \lt -2 — одна (правая ветвь уже обрезана).
Парабола: при m \gt 0 — ни одной; при m = 0 — одна (вершина); при -1 \lt m \lt 0 — две (x = 5 \pm \sqrt{-m}, обе правее 4); при m \le -1 — одна (левая точка x = 5 - \sqrt{-m} уходит в x \le 4 и выкалывается, остаётся x = 5 + \sqrt{-m}).
Складываем и ищем ровно три точки.
При m = 0: две точки от уголка (x = \pm 2) и одна от параболы (вершина (5;\ 0)) — три. Подходит.
При -1 \lt m \lt 0: 2 + 2 = 4 точки — не подходит.
При -2 \le m \le -1: две точки от уголка и одна от параболы — три. Подходит (в точке m = -2 правая точка уголка — это как раз конец куска (4;\ -2), она в графике есть).
При m \lt -2: 1 + 1 = 2 точки; при 0 \lt m \lt 2 — две; при m = 2 — одна; при m \gt 2 — ни одной.
Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки при -2 \le m \le -1 и при m = 0.