Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00024930

Разберёмся с каждым куском графика отдельно.

При $x \le 4$ это «уголок» $y = 2 - |x|$: вершина в точке $(0;\ 2)$, ветви идут вниз под $45^\circ$. Кусок обрывается в точке $(4;\ -2)$ — она принадлежит графику.

При $x \gt 4$ заметим: $-x^{2} + 10x - 25 = -(x - 5)^{2}$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(5;\ 0)$. Обрати внимание: в точке $x = 4$ она давала бы $y = -1$, но эта точка выколота ($x \gt 4$ строго).

Прямая $y = m$ горизонтальна. Посчитаем, сколько точек она даёт на каждом куске.

Уголок: при $m \gt 2$ — ни одной точки; при $m = 2$ — одна (вершина); при $-2 \le m \lt 2$ — две (правая точка пересечения $x = 2 - m$ ещё не выходит за $x = 4$); при $m \lt -2$ — одна (правая ветвь уже обрезана).

Парабола: при $m \gt 0$ — ни одной; при $m = 0$ — одна (вершина); при $-1 \lt m \lt 0$ — две ($x = 5 \pm \sqrt{-m}$, обе правее $4$); при $m \le -1$ — одна (левая точка $x = 5 - \sqrt{-m}$ уходит в $x \le 4$ и выкалывается, остаётся $x = 5 + \sqrt{-m}$).

Складываем и ищем ровно три точки.

При $m = 0$: две точки от уголка ($x = \pm 2$) и одна от параболы (вершина $(5;\ 0)$) — три. Подходит.

При $-1 \lt m \lt 0$: $2 + 2 = 4$ точки — не подходит.

При $-2 \le m \le -1$: две точки от уголка и одна от параболы — три. Подходит (в точке $m = -2$ правая точка уголка — это как раз конец куска $(4;\ -2)$, она в графике есть).

При $m \lt -2$: $1 + 1 = 2$ точки; при $0 \lt m \lt 2$ — две; при $m = 2$ — одна; при $m \gt 2$ — ни одной.

Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $-2 \le m \le -1$ и при $m = 0$.