Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00024928

Слева степень $8$, справа степень $4$ — приведём обе части к четвёртой степени: $x^{8} = \left(x^{2}\right)^{4}$.

$$\left(x^{2}\right)^{4} = (20 - x)^{4}.$$

Правило: четвёртые степени двух чисел равны тогда и только тогда, когда сами числа равны или противоположны.

Первый случай: $x^{2} = 20 - x$, то есть $x^{2} + x - 20 = 0$. По теореме Виета сумма корней $-1$, произведение $-20$: корни $x = 4$ и $x = -5$.

Второй случай: $x^{2} = -(20 - x)$, то есть $x^{2} - x + 20 = 0$. Дискриминант $D = 1 - 80 = -79 \lt 0$ — корней нет.

Проверка себя: при $x = 4$: слева $4^{8} = 65536$, справа $16^{4} = 65536$ — сходится. При $x = -5$: слева $(-5)^{8} = 390625$, справа $25^{4} = 390625$ — сходится.

Уравнение имеет два корня: $x = -5$ и $x = 4$.