ID: 00024908
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках K и N соответственно. Найдите длину отрезка KN, если AD=40, BC=16, CN=12, ND=18.
Источник: Сборник Ященко 2026
Идея: проведём диагональ AC — она разрежет отрезок KN на два куска, каждый из которых считается через подобие в своём треугольнике.
Пусть диагональ AC пересекает KN в точке P. Сторона CD равна CN+ND=12+18=30.
Смотрим на треугольник ACD: в нём PN\parallel AD, поэтому треугольник CPN подобен треугольнику CAD. Правило: коэффициент подобия равен отношению соответствующих отрезков на стороне CD:
\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5},\qquad PN=\dfrac{2}{5}\cdot AD=\dfrac{2}{5}\cdot40=16.
Теперь треугольник CAB: в нём KP\parallel BC, а точка P делит CA в том же отношении, значит, со стороны вершины A коэффициент равен
\dfrac{AP}{AC}=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5},\qquad KP=\dfrac{3}{5}\cdot BC=\dfrac{3}{5}\cdot16=9{,}6.
Складываем куски:
KN=PN+KP=16+9{,}6=25{,}6.
Проверка себя: KN обязан лежать между основаниями по длине, и правда 16\lt25{,}6\lt40. Сходится.
Длина отрезка KN равна 25{,}6.