ID: 00024908
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $KN$, если $AD=40$, $BC=16$, $CN=12$, $ND=18$.
Источник: Сборник Ященко 2026
Идея: проведём диагональ $AC$ — она разрежет отрезок $KN$ на два куска, каждый из которых считается через подобие в своём треугольнике.
Пусть диагональ $AC$ пересекает $KN$ в точке $P$. Сторона $CD$ равна $CN+ND=12+18=30$.
Смотрим на треугольник $ACD$: в нём $PN\parallel AD$, поэтому треугольник $CPN$ подобен треугольнику $CAD$. Правило: коэффициент подобия равен отношению соответствующих отрезков на стороне $CD$:
$$\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5},\qquad PN=\dfrac{2}{5}\cdot AD=\dfrac{2}{5}\cdot40=16.$$
Теперь треугольник $CAB$: в нём $KP\parallel BC$, а точка $P$ делит $CA$ в том же отношении, значит, со стороны вершины $A$ коэффициент равен
$$\dfrac{AP}{AC}=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5},\qquad KP=\dfrac{3}{5}\cdot BC=\dfrac{3}{5}\cdot16=9{,}6.$$
Складываем куски:
$$KN=PN+KP=16+9{,}6=25{,}6.$$
Проверка себя: $KN$ обязан лежать между основаниями по длине, и правда $16\lt25{,}6\lt40$. Сходится.
Длина отрезка $KN$ равна $25{,}6$.