ID: 00024907
Постройте график функции y=x^{2}-3|x|-10.
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Источник: Сборник Ященко 2026
Раскроем модуль по определению — получится функция из двух кусков.
При x\ge0: y=x^{2}-3x-10 — парабола ветвями вверх с вершиной в точке x=\dfrac{3}{2}=1{,}5, y=1{,}5^{2}-3\cdot1{,}5-10=2{,}25-4{,}5-10=-12{,}25.
При x\lt0: y=x^{2}+3x-10 — такая же парабола, но с вершиной в точке x=-1{,}5, y=-12{,}25.
Обрати внимание: в функции x входит только как x^{2} и |x|, поэтому график симметричен относительно оси y. Получается «двойная яма» в форме буквы W: две вершины в точках (\pm1{,}5;\ -12{,}25) и горб между ними в точке (0;\ -10).
Полезные точки для построения: нули функции из |x|^{2}-3|x|-10=0: |x|=5 (второй корень |x|=-2 не подходит), то есть x=\pm5; значение в нуле y=-10.
Теперь двигаем горизонтальную прямую y=c снизу вверх и считаем пересечения: при c\lt-12{,}25 — нет точек; при c=-12{,}25 — 2 точки (обе вершины); при -12{,}25\lt c\lt-10 — 4 точки (прямая режет обе «ямы» дважды); при c=-10 — 3 точки; при c\gt-10 — 2 точки.
Наибольшее число общих точек — 4.