Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00024907

Раскроем модуль по определению — получится функция из двух кусков.

При $x\ge0$: $y=x^{2}-3x-10$ — парабола ветвями вверх с вершиной в точке $x=\dfrac{3}{2}=1{,}5$, $y=1{,}5^{2}-3\cdot1{,}5-10=2{,}25-4{,}5-10=-12{,}25$.

При $x\lt0$: $y=x^{2}+3x-10$ — такая же парабола, но с вершиной в точке $x=-1{,}5$, $y=-12{,}25$.

Обрати внимание: в функции $x$ входит только как $x^{2}$ и $|x|$, поэтому график симметричен относительно оси $y$. Получается «двойная яма» в форме буквы W: две вершины в точках $(\pm1{,}5;\ -12{,}25)$ и горб между ними в точке $(0;\ -10)$.

Полезные точки для построения: нули функции из $|x|^{2}-3|x|-10=0$: $|x|=5$ (второй корень $|x|=-2$ не подходит), то есть $x=\pm5$; значение в нуле $y=-10$.

Теперь двигаем горизонтальную прямую $y=c$ снизу вверх и считаем пересечения: при $c\lt-12{,}25$ — нет точек; при $c=-12{,}25$ — $2$ точки (обе вершины); при $-12{,}25\lt c\lt-10$ — $4$ точки (прямая режет обе «ямы» дважды); при $c=-10$ — $3$ точки; при $c\gt-10$ — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек — $4$.