ID: 00024906
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.
Источник: Сборник Ященко 2026
Обозначим скорость течения за $x$ км/ч. По течению река помогает: скорость $22+x$; против течения мешает: $22-x$.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
По течению | $22+x$ | $\dfrac{240}{22+x}$ | $240$ |
Против течения | $22-x$ | $\dfrac{240}{22-x}$ | $240$ |
Сначала уберём стоянку: чистое время движения равно $32-10=22$ ч.
Время — это путь, делённый на скорость. Составим уравнение на сумму времён:
$$\dfrac{240}{22+x}+\dfrac{240}{22-x}=22.$$
Приводим левую часть к общему знаменателю $(22+x)(22-x)=484-x^{2}$:
$$\dfrac{240(22-x)+240(22+x)}{484-x^{2}}=22,\qquad \dfrac{240\cdot44}{484-x^{2}}=22.$$
Обрати внимание: иксы в числителе сократились — уравнение сразу упрощается. Делим обе части на $22$:
$$\dfrac{240\cdot44}{22}=484-x^{2},\qquad 480=484-x^{2},\qquad x^{2}=4.$$
Скорость течения положительна, поэтому $x=2$.
Проверка: по течению $240:24=10$ ч, против $240:20=12$ ч, плюс стоянка $10$ ч — всего $32$ ч. Сходится.
Скорость течения равна $2$ км/ч.