ID: 00024906
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.
Источник: Сборник Ященко 2026
Обозначим скорость течения за x км/ч. По течению река помогает: скорость 22+x; против течения мешает: 22-x.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км | |
|---|---|---|---|
| По течению | 22+x | \dfrac{240}{22+x} | 240 |
| Против течения | 22-x | \dfrac{240}{22-x} | 240 |
Сначала уберём стоянку: чистое время движения равно 32-10=22 ч.
Время — это путь, делённый на скорость. Составим уравнение на сумму времён:
\dfrac{240}{22+x}+\dfrac{240}{22-x}=22.
Приводим левую часть к общему знаменателю (22+x)(22-x)=484-x^{2}:
\dfrac{240(22-x)+240(22+x)}{484-x^{2}}=22,\qquad \dfrac{240\cdot44}{484-x^{2}}=22.
Обрати внимание: иксы в числителе сократились — уравнение сразу упрощается. Делим обе части на 22:
\dfrac{240\cdot44}{22}=484-x^{2},\qquad 480=484-x^{2},\qquad x^{2}=4.
Скорость течения положительна, поэтому x=2.
Проверка: по течению 240:24=10 ч, против 240:20=12 ч, плюс стоянка 10 ч — всего 32 ч. Сходится.
Скорость течения равна 2 км/ч.