Задание 20 ОГЭ по математике №00024905

Идея: оба уравнения симметричны относительно $x$ и $y$, поэтому удобно перейти к сумме и разности.

Правило: квадрат суммы и квадрат разности собираются из наших выражений: $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$ и $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy$.

Подставим числа из системы:

$$(x+y)^{2}=68+2\cdot(-16)=36,\qquad (x-y)^{2}=68-2\cdot(-16)=100.$$

Значит, $x+y=\pm6$ и $x-y=\pm10$ — все четыре комбинации знаков возможны.

Из пары «сумма и разность» находим сами числа: $x=\dfrac{(x+y)+(x-y)}{2}$, $y=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{2}$.

$$x+y=6,\ x-y=10:\ (8;\ -2);\qquad x+y=6,\ x-y=-10:\ (-2;\ 8);$$

$$x+y=-6,\ x-y=10:\ (2;\ -8);\qquad x+y=-6,\ x-y=-10:\ (-8;\ 2).$$

Проверка каждой пары: $8^{2}+2^{2}=64+4=68$ и произведение чисел с разными знаками равно $-16$. Сходится.

Система имеет четыре решения: $(2;\ -8)$, $(-2;\ 8)$, $(8;\ -2)$, $(-8;\ 2)$.