Задание 20 ОГЭ по математике: Решите систему уравнений система: x в квадрате плюс y в квадрате…

Идея: оба уравнения симметричны относительно x и y, поэтому удобно перейти к сумме и разности.

Правило: квадрат суммы и квадрат разности собираются из наших выражений: (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy и (x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy.

Подставим числа из системы:

(x+y)^{2}=68+2\cdot(-16)=36,\qquad (x-y)^{2}=68-2\cdot(-16)=100.

Значит, x+y=\pm6 и x-y=\pm10 — все четыре комбинации знаков возможны.

Из пары «сумма и разность» находим сами числа: x=\dfrac{(x+y)+(x-y)}{2}, y=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{2}.

x+y=6,\ x-y=10:\ (8;\ -2);\qquad x+y=6,\ x-y=-10:\ (-2;\ 8);

x+y=-6,\ x-y=10:\ (2;\ -8);\qquad x+y=-6,\ x-y=-10:\ (-8;\ 2).

Проверка каждой пары: 8^{2}+2^{2}=64+4=68 и произведение чисел с разными знаками равно -16. Сходится.

Система имеет четыре решения: (2;\ -8), (-2;\ 8), (8;\ -2), (-8;\ 2).