Задание 25 ОГЭ по математике: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях…

💡 Идея. касательная и секущая из одной точки дают длину касательной, а дальше удобно ввести координаты: центр окружности лежит на двух известных прямых — на перпендикуляре к AB в точке касания и на серединном перпендикуляре к MN.

Пусть окружность касается луча AB в точке T. Из вершины A к окружности проведены касательная AT и секущая через M и N.

Правило: квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

AT^2=AM\cdot AN=9\cdot 20=180,\qquad AT=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.

Введём координаты: точку A поместим в начало, луч AC пустим по оси x. Тогда M(9;\ 0) и N(20;\ 0).

Найдём синус угла A по основному тригонометрическому тождеству:

\sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac{5}{9}}=\dfrac{2}{3}.

Точка касания T лежит на луче AB на расстоянии 6\sqrt{5} от A, поэтому её координаты:

T=\left(6\sqrt{5}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{3};\ 6\sqrt{5}\cdot\dfrac{2}{3}\right)=(10;\ 4\sqrt{5}).

Теперь два факта про центр O. Во-первых, радиус в точку касания перпендикулярен касательной, значит, O лежит на перпендикуляре к AB в точке T.

Вдоль луча AB смотрит единичный вектор \left(\dfrac{\sqrt{5}}{3};\ \dfrac{2}{3}\right), поэтому единичный перпендикуляр к нему — \left(\dfrac{2}{3};\ -\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right), и

O=\left(10+\dfrac{2t}{3};\ 4\sqrt{5}-\dfrac{t\sqrt{5}}{3}\right),

где t — расстояние OT, то есть как раз искомый радиус.

Во-вторых, O равноудалён от M и N, значит, лежит на серединном перпендикуляре к MN — вертикальной прямой x=\dfrac{9+20}{2}=14{,}5.

Приравниваем абсциссы:

10+\dfrac{2t}{3}=14{,}5,\qquad \dfrac{2t}{3}=4{,}5,\qquad t=6{,}75.

Радиус окружности равен 6{,}75.

Проверка: ордината центра 4\sqrt{5}-\dfrac{6{,}75\sqrt{5}}{3}=1{,}75\sqrt{5}\gt 0 — центр над прямой AC, окружность действительно касается луча AB, а не его продолжения. И радиус через M: R^2=(14{,}5-9)^2+(1{,}75\sqrt{5})^2=30{,}25+15{,}3125=45{,}5625=6{,}75^2. Сходится.