ID: 00024885
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 20 от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. касательная и секущая из одной точки дают длину касательной, а дальше удобно ввести координаты: центр окружности лежит на двух известных прямых — на перпендикуляре к $AB$ в точке касания и на серединном перпендикуляре к $MN$.
Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $T$. Из вершины $A$ к окружности проведены касательная $AT$ и секущая через $M$ и $N$.
Правило: квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:
$$AT^2=AM\cdot AN=9\cdot 20=180,\qquad AT=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.$$
Введём координаты: точку $A$ поместим в начало, луч $AC$ пустим по оси $x$. Тогда $M(9;\ 0)$ и $N(20;\ 0)$.
Найдём синус угла $A$ по основному тригонометрическому тождеству:
$$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac{5}{9}}=\dfrac{2}{3}.$$
Точка касания $T$ лежит на луче $AB$ на расстоянии $6\sqrt{5}$ от $A$, поэтому её координаты:
$$T=\left(6\sqrt{5}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{3};\ 6\sqrt{5}\cdot\dfrac{2}{3}\right)=(10;\ 4\sqrt{5}).$$
Теперь два факта про центр $O$. Во-первых, радиус в точку касания перпендикулярен касательной, значит, $O$ лежит на перпендикуляре к $AB$ в точке $T$.
Вдоль луча $AB$ смотрит единичный вектор $\left(\dfrac{\sqrt{5}}{3};\ \dfrac{2}{3}\right)$, поэтому единичный перпендикуляр к нему — $\left(\dfrac{2}{3};\ -\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)$, и
$$O=\left(10+\dfrac{2t}{3};\ 4\sqrt{5}-\dfrac{t\sqrt{5}}{3}\right),$$
где $t$ — расстояние $OT$, то есть как раз искомый радиус.
Во-вторых, $O$ равноудалён от $M$ и $N$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$ — вертикальной прямой $x=\dfrac{9+20}{2}=14{,}5$.
Приравниваем абсциссы:
$$10+\dfrac{2t}{3}=14{,}5,\qquad \dfrac{2t}{3}=4{,}5,\qquad t=6{,}75.$$
Радиус окружности равен $6{,}75$.
Проверка: ордината центра $4\sqrt{5}-\dfrac{6{,}75\sqrt{5}}{3}=1{,}75\sqrt{5}\gt 0$ — центр над прямой $AC$, окружность действительно касается луча $AB$, а не его продолжения. И радиус через $M$: $R^2=(14{,}5-9)^2+(1{,}75\sqrt{5})^2=30{,}25+15{,}3125=45{,}5625=6{,}75^2$. Сходится.