Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00024874

💡 Идея. Все четыре вершины лежат на одной окружности с центром $M$ — дальше работают равнобедренные треугольники с вершиной $M$.

Точка $M$ — середина $AD$, поэтому $MA=MD=\dfrac{10}{2}=5$. По условию $M$ равноудалена от всех вершин, значит, и $MB=MC=5$: все вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $5$.

Рассмотрим треугольник $MCD$: в нём $MC=MD=5$, то есть он равнобедренный. Обрати внимание: $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому угол $MDC$ — это и есть угол $D$ четырёхугольника, $65^\circ$.

Правило: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

$$\angle MCD=\angle MDC=65^\circ.$$

Теперь найдём угол $MCB$: он дополняет угол $MCD$ до полного угла $C$ четырёхугольника:

$$\angle MCB=\angle BCD-\angle MCD=110^\circ-65^\circ=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $BMC$: он тоже равнобедренный, $MB=MC=5$, значит, углы при основании $BC$ равны:

$$\angle MBC=\angle MCB=45^\circ.$$

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$$\angle BMC=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Треугольник $BMC$ — прямоугольный и равнобедренный с катетами $5$. По теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

Проверка себя: $5\sqrt{2}\approx 7{,}1$ — меньше диаметра $10$, как и положено хорде окружности радиуса $5$.

Сторона $BC$ равна $5\sqrt{2}$.