ID: 00024874
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $BC$, если $AD=10$, а углы $C$ и $D$ четырёхугольника равны соответственно $110^\circ$ и $65^\circ$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Все четыре вершины лежат на одной окружности с центром $M$ — дальше работают равнобедренные треугольники с вершиной $M$.
Точка $M$ — середина $AD$, поэтому $MA=MD=\dfrac{10}{2}=5$. По условию $M$ равноудалена от всех вершин, значит, и $MB=MC=5$: все вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $5$.
Рассмотрим треугольник $MCD$: в нём $MC=MD=5$, то есть он равнобедренный. Обрати внимание: $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому угол $MDC$ — это и есть угол $D$ четырёхугольника, $65^\circ$.
Правило: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:
$$\angle MCD=\angle MDC=65^\circ.$$
Теперь найдём угол $MCB$: он дополняет угол $MCD$ до полного угла $C$ четырёхугольника:
$$\angle MCB=\angle BCD-\angle MCD=110^\circ-65^\circ=45^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $BMC$: он тоже равнобедренный, $MB=MC=5$, значит, углы при основании $BC$ равны:
$$\angle MBC=\angle MCB=45^\circ.$$
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:
$$\angle BMC=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$
Треугольник $BMC$ — прямоугольный и равнобедренный с катетами $5$. По теореме Пифагора:
$$BC=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$
Проверка себя: $5\sqrt{2}\approx 7{,}1$ — меньше диаметра $10$, как и положено хорде окружности радиуса $5$.
Сторона $BC$ равна $5\sqrt{2}$.