ID: 00024874
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите BC, если AD=10, а углы C и D четырёхугольника равны соответственно 110^\circ и 65^\circ.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Все четыре вершины лежат на одной окружности с центром M — дальше работают равнобедренные треугольники с вершиной M.
Точка M — середина AD, поэтому MA=MD=\dfrac{10}{2}=5. По условию M равноудалена от всех вершин, значит, и MB=MC=5: все вершины лежат на окружности с центром M и радиусом 5.
Рассмотрим треугольник MCD: в нём MC=MD=5, то есть он равнобедренный. Обрати внимание: M лежит на стороне AD, поэтому угол MDC — это и есть угол D четырёхугольника, 65^\circ.
Правило: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:
\angle MCD=\angle MDC=65^\circ.
Теперь найдём угол MCB: он дополняет угол MCD до полного угла C четырёхугольника:
\angle MCB=\angle BCD-\angle MCD=110^\circ-65^\circ=45^\circ.
Рассмотрим треугольник BMC: он тоже равнобедренный, MB=MC=5, значит, углы при основании BC равны:
\angle MBC=\angle MCB=45^\circ.
Сумма углов треугольника равна 180^\circ, поэтому:
\angle BMC=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.
Треугольник BMC — прямоугольный и равнобедренный с катетами 5. По теореме Пифагора:
BC=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Проверка себя: 5\sqrt{2}\approx 7{,}1 — меньше диаметра 10, как и положено хорде окружности радиуса 5.
Сторона BC равна 5\sqrt{2}.