ID: 00024873
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 74. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Источник: Сборник Ященко 2026
Сначала найдём второй катет, а потом достанем высоту через площадь.
По теореме Пифагора второй катет равен корню из разности квадратов гипотенузы и известного катета. Удобно разложить разность квадратов на множители — числа станут маленькими:
b=\sqrt{74^{2}-24^{2}}=\sqrt{(74-24)(74+24)}=\sqrt{50\cdot 98}=\sqrt{4900}=70.
Правило: площадь прямоугольного треугольника можно посчитать двумя способами — как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту к ней. Приравняв, получаем: высота равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:
h=\dfrac{ab}{c}=\dfrac{24\cdot 70}{74}=\dfrac{1680}{74}=\dfrac{840}{37}.
Дробь \dfrac{840}{37} уже несократима: 37 — простое число, а 840 на 37 не делится.
Проверка себя прикидкой: \dfrac{840}{37}\approx 22{,}7 — высота к гипотенузе меньше меньшего катета 24, так и должно быть.
Высота, проведённая к гипотенузе, равна \dfrac{840}{37}.