Постройте график функции y равно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка, знаменатель: x в квадрате минус x минус 2 конец дроби . Определите, при каких значениях k прямая y равно kx не имеет с графиком общих точек.

Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно дробь: числитель: левая круглая…

№2. Задание 22

ID: 00024872

Постройте график функции $y=\dfrac{(x+1)\left(x^{2}-4\right)}{x^{2}-x-2}$ .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Сначала разложим на множители всё, что раскладывается, — дробь наверняка сократится.

Знаменатель: корни трёхчлена $x^{2}-x-2$ — это $2$ и $-1$ , поэтому $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ . Числитель: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ — разность квадратов.

$y=\dfrac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2.$

Обрати внимание: сокращать можно только там, где знаменатель не ноль, поэтому $x\ne 2$ и $x\ne -1$ — эти значения выпадают из области определения.

Значит, график — прямая $y=x+2$ с двумя выколотыми точками: при $x=-1$ выколота точка $(-1;\ 1)$ , при $x=2$ — точка $(2;\ 4)$ .

Теперь разберёмся, когда прямая $y=kx$ не встречает график. Она проходит через начало координат, и есть ровно два способа «промахнуться».

Первый способ — идти параллельно: при $k=1$ прямая $y=x$ параллельна $y=x+2$ и не пересекает её вовсе.

Второй способ — попасть единственной общей точкой ровно в выколотую. Через точку $(-1;\ 1)$ : из $1=k\cdot(-1)$ получаем $k=-1$ ; проверяем, что других пересечений нет: $-x=x+2$ даёт единственный корень $x=-1$ — он выколот. Через точку $(2;\ 4)$ : из $4=k\cdot 2$ получаем $k=2$ ; уравнение $2x=x+2$ даёт единственный корень $x=2$ — тоже выколот.

При остальных $k$ прямая $y=kx$ пересекает прямую $y=x+2$ в точке, отличной от выколотых, — общая точка есть.

Прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=-1$ , $k=1$ и $k=2$ .

Ответ

-1; 1; 2