Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00024872

Сначала разложим на множители всё, что раскладывается, — дробь наверняка сократится.

Знаменатель: корни трёхчлена $x^{2}-x-2$ — это $2$ и $-1$, поэтому $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$. Числитель: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ — разность квадратов.

$$y=\dfrac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2.$$

Обрати внимание: сокращать можно только там, где знаменатель не ноль, поэтому $x\ne 2$ и $x\ne -1$ — эти значения выпадают из области определения.

Значит, график — прямая $y=x+2$ с двумя выколотыми точками: при $x=-1$ выколота точка $(-1;\ 1)$, при $x=2$ — точка $(2;\ 4)$.

Теперь разберёмся, когда прямая $y=kx$ не встречает график. Она проходит через начало координат, и есть ровно два способа «промахнуться».

Первый способ — идти параллельно: при $k=1$ прямая $y=x$ параллельна $y=x+2$ и не пересекает её вовсе.

Второй способ — попасть единственной общей точкой ровно в выколотую. Через точку $(-1;\ 1)$: из $1=k\cdot(-1)$ получаем $k=-1$; проверяем, что других пересечений нет: $-x=x+2$ даёт единственный корень $x=-1$ — он выколот. Через точку $(2;\ 4)$: из $4=k\cdot 2$ получаем $k=2$; уравнение $2x=x+2$ даёт единственный корень $x=2$ — тоже выколот.

При остальных $k$ прямая $y=kx$ пересекает прямую $y=x+2$ в точке, отличной от выколотых, — общая точка есть.

Прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=-1$, $k=1$ и $k=2$.