Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00024870

Обрати внимание: числитель дроби — постоянное отрицательное число $-14$, и весь знак дроби определяется знаменателем.

Дробь с отрицательным числителем неположительна ровно тогда, когда знаменатель положителен: «минус на плюс» даёт минус.

Равенство нулю здесь невозможно: числитель $-14$ в ноль не обращается, а знаменатель в нуле просто лишает дробь смысла. Поэтому неравенство сводится к строгому условию:

$$x^{2}+5x-14\gt 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена через дискриминант:

$$D=5^{2}-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{D}=9.$$

$$x=\dfrac{-5\pm 9}{2}:\qquad x_{1}=-7,\quad x_{2}=2.$$

Парабола $y=x^{2}+5x-14$ с ветвями вверх положительна вне корней:

$$x\lt -7\quad\text{или}\quad x\gt 2.$$

Проверка себя: при $x=0$ знаменатель равен $-14$, дробь равна $1\gt 0$ — точка $0$ и правда не входит; при $x=3$ знаменатель $9+15-14=10$, дробь $-1{,}4\le 0$ — входит. Сходится.

Решение неравенства: $(-\infty;\ -7)\cup(2;\ +\infty)$.