Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00024851

Сначала избавимся от модуля: раскроем его по определению отдельно справа и слева от точки $x=1$.

При $x\ge 1$ модуль раскрывается как $|x-1|=x-1$:

$$y=x^{2}+x-5(x-1)-2=x^{2}-4x+3.$$

Это парабола ветвями вверх с вершиной $(2;\ -1)$; в точке $x=1$ значение $y=0$.

При $x\lt 1$ модуль меняет знак: $|x-1|=1-x$:

$$y=x^{2}+x+5(x-1)-2=x^{2}+6x-7.$$

Тоже парабола ветвями вверх, вершина $(-3;\ -16)$; при подходе к $x=1$ значение также стремится к нулю — куски аккуратно склеиваются в точке $(1;\ 0)$.

Теперь главный вопрос: когда горизонтальная прямая $y=m$ даёт ровно три общие точки? Обрати внимание: особые уровни — это вершины кусков и точка склейки.

При $m=-1$ прямая проходит через вершину правой параболы $(2;\ -1)$ — одна точка, плюс две точки на левой параболе: всего три.

При $m=0$ прямая проходит через точку склейки $(1;\ 0)$ и точку $(3;\ 0)$ правого куска, а левый кусок добавляет точку $(-7;\ 0)$: снова три.

Проверка остальных уровней: при $-1\lt m\lt 0$ точек четыре, при прочих $m$ — меньше трёх. Подходят только $m=-1$ и $m=0$.