Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00024850

💡 Идея. два отрезка из условия — это полусумма и полуразность оснований: из них соберётся простая система.

Обозначим основания трапеции $a$ и $b$, где $a\gt b$.

Первый отрезок — между серединами боковых сторон — это средняя линия трапеции. Правило: средняя линия равна полусумме оснований, то есть $\dfrac{a+b}{2}$.

Теперь разберёмся со вторым отрезком. Сумма углов при основании равна $58^\circ+32^\circ=90^\circ$ — обрати внимание, это неспроста.

Продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$: в получившемся треугольнике угол при вершине $P$ равен $180^\circ-90^\circ=90^\circ$, то есть боковые стороны встречаются под прямым углом.

Из точки $P$ оба основания видны под прямым углом, поэтому работают медианы прямоугольных треугольников. Правило: медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине — значит, отрезок между серединами оснований равен разности таких медиан:

$$\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-b}{2}.$$

Полусумма всегда больше полуразности, поэтому средняя линия — это $14$, а отрезок между серединами оснований — $6$:

$$\dfrac{a+b}{2}=14,\qquad \dfrac{a-b}{2}=6.$$

Складываем и вычитаем уравнения: $a+b=28$ и $a-b=12$, откуда $2a=40$, то есть $a=20$, и тогда $b=8$.

Основания трапеции равны $20$ и $8$.

Проверка: полусумма $\dfrac{20+8}{2}=14$ и полуразность $\dfrac{20-8}{2}=6$ — оба отрезка сошлись с условием.