Углы при одном из оснований трапеции равны 58 в степени ° и 32 в степени ° , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 14. Найдите основания трапеции.

Задание 25 ОГЭ по математике: Углы при одном из оснований трапеции равны 58 в степени ° и 32 в…

№2. Задание 25

ID: 00024850

Углы при одном из оснований трапеции равны $58^\circ$ и $32^\circ$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 14. Найдите основания трапеции.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. два отрезка из условия — это полусумма и полуразность оснований: из них соберётся простая система.

Обозначим основания трапеции $a$ и $b$ , где $a\gt b$ .

Первый отрезок — между серединами боковых сторон — это средняя линия трапеции. Правило: средняя линия равна полусумме оснований, то есть $\dfrac{a+b}{2}$ .

Теперь разберёмся со вторым отрезком. Сумма углов при основании равна $58^\circ+32^\circ=90^\circ$ — обрати внимание, это неспроста.

Продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$ : в получившемся треугольнике угол при вершине $P$ равен $180^\circ-90^\circ=90^\circ$ , то есть боковые стороны встречаются под прямым углом.

Из точки $P$ оба основания видны под прямым углом, поэтому работают медианы прямоугольных треугольников. Правило: медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине — значит, отрезок между серединами оснований равен разности таких медиан:

$\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-b}{2}.$

Полусумма всегда больше полуразности, поэтому средняя линия — это $14$ , а отрезок между серединами оснований — $6$ :

$\dfrac{a+b}{2}=14,\qquad \dfrac{a-b}{2}=6.$

Складываем и вычитаем уравнения: $a+b=28$ и $a-b=12$ , откуда $2a=40$ , то есть $a=20$ , и тогда $b=8$ .

Основания трапеции равны $20$ и $8$ .

Проверка: полусумма $\dfrac{20+8}{2}=14$ и полуразность $\dfrac{20-8}{2}=6$ — оба отрезка сошлись с условием.

Ответ

20; 8