ID: 00024847
Автомобиль выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 210 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь на 42 минуты меньше. Найдите скорость автомобиля на пути из А в Б.
Источник: Сборник Ященко 2026
Обозначим скорость на пути из А в Б за $v$ км/ч, тогда обратно автомобиль ехал со скоростью $v+10$ км/ч.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Туда (А → Б) | $v$ | $\dfrac{210}{v}$ | $210$ |
Обратно (Б → А) | $v+10$ | $\dfrac{210}{v+10}$ | $210$ |
Сначала разберёмся с минутами: скорость дана в км/ч, поэтому и разницу времени переводим в часы: $42$ мин $=\dfrac{42}{60}=0{,}7$ ч.
Время — это путь, делённый на скорость: туда $\dfrac{210}{v}$ ч, обратно $\dfrac{210}{v+10}$ ч.
Обратно доехал быстрее, значит, время «туда» больше на $0{,}7$ ч:
$$\dfrac{210}{v}-\dfrac{210}{v+10}=0{,}7.$$
Приводим левую часть к общему знаменателю — в числителе всё сокращается до одного числа:
$$\dfrac{2100}{v(v+10)}=0{,}7,\qquad v(v+10)=3000.$$
Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение:
$$v^{2}+10v-3000=0,\qquad D=100+12000=12100,\qquad \sqrt{D}=110.$$
Корни $v=\dfrac{-10\pm 110}{2}$: это $50$ и $-60$. Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=50$.
Скорость автомобиля на пути из А в Б равна $50$ км/ч.
Проверка: туда $210:50=4{,}2$ ч, обратно $210:60=3{,}5$ ч, разница $0{,}7$ ч — ровно $42$ минуты. Сходится.