Решите неравенство: дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 6, знаменатель: x в квадрате минус 4 конец дроби меньше или равно 0 .

Задание ОГЭ по математике: Решите неравенство: дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус…

ID: 00024073

Решите неравенство: $\frac{x^2+x-6}{x^2-4}\leq 0$ .

Источник: Global_EE

И числитель, и знаменатель — квадратные выражения, поэтому сначала разложим оба на множители.

Числитель: корни уравнения $x^2+x-6=0$ по теореме Виета — сумма $-1$ , произведение $-6$ , подходят $-3$ и $2$ .

$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$

Знаменатель — разность квадратов, ведь $4=2^2$ .

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Сразу запишем ограничения: знаменатель не должен быть нулём, значит $x\neq 2$ и $x\neq -2$ .

$\frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \leq 0$

Одинаковую скобку $(x-2)$ можно сократить — но только помня, что $x\neq 2$ .

$\frac{x+3}{x+2} \leq 0, \qquad x\neq 2$

Шаг 1. Нуль числителя: $x=-3$ , точка закрашенная (знак нестрогий).

Шаг 2. Нуль знаменателя: $x=-2$ , точка выколотая.

Шаг 3. Знак справа: при $x=0$ дробь равна $\frac{3}{2}$ — плюс, дальше влево чередуем.

$+ \;\; [-3] \;\; - \;\; (-2) \;\; +$

Шаг 4. Нужен знак $\leq 0$ — это средний промежуток: слева конец закрытый, справа открытый.

Осталось проверить выколотую точку $x=2$ : она в найденный промежуток не попадает, значит ответ не меняется.

$x \in [-3;-2)$

x∈[-3; -2) / [-3; -2) / [-3;-2) / -3<=x<-2 / -3 ≤ x < -2 / -3≤x<-2 / x∈[−3; −2) / [−3; −2) / [−3;−2) / −3<=x<−2 / −3 ≤ x < −2 / −3≤x<−2