Неравенства — Задание ОГЭ по математике №00024073

И числитель, и знаменатель — квадратные выражения, поэтому сначала разложим оба на множители.

Числитель: корни уравнения $x^2+x-6=0$ по теореме Виета — сумма $-1$, произведение $-6$, подходят $-3$ и $2$.

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Знаменатель — разность квадратов, ведь $4=2^2$.

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Сразу запишем ограничения: знаменатель не должен быть нулём, значит $x\neq 2$ и $x\neq -2$.

$$\frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \leq 0$$

Одинаковую скобку $(x-2)$ можно сократить — но только помня, что $x\neq 2$.

$$\frac{x+3}{x+2} \leq 0, \qquad x\neq 2$$

Шаг 1. Нуль числителя: $x=-3$, точка закрашенная (знак нестрогий).

Шаг 2. Нуль знаменателя: $x=-2$, точка выколотая.

Шаг 3. Знак справа: при $x=0$ дробь равна $\frac{3}{2}$ — плюс, дальше влево чередуем.

$$+ \;\; [-3] \;\; - \;\; (-2) \;\; +$$

Шаг 4. Нужен знак $\leq 0$ — это средний промежуток: слева конец закрытый, справа открытый.

Осталось проверить выколотую точку $x=2$: она в найденный промежуток не попадает, значит ответ не меняется.

$$x \in [-3;-2)$$