ID: 00024073
Решите неравенство: $\frac{x^2+x-6}{x^2-4}\leq 0$.
Ответ дайте неравенством, например x>5 или 2<=x<=7.
Источник: Global_EE
И числитель, и знаменатель — квадратные выражения, поэтому сначала разложим оба на множители.
Числитель: корни уравнения $x^2+x-6=0$ по теореме Виета — сумма $-1$, произведение $-6$, подходят $-3$ и $2$.
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$
Знаменатель — разность квадратов, ведь $4=2^2$.
$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Сразу запишем ограничения: знаменатель не должен быть нулём, значит $x\neq 2$ и $x\neq -2$.
$$\frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \leq 0$$
Одинаковую скобку $(x-2)$ можно сократить — но только помня, что $x\neq 2$.
$$\frac{x+3}{x+2} \leq 0, \qquad x\neq 2$$
Шаг 1. Нуль числителя: $x=-3$, точка закрашенная (знак нестрогий).
Шаг 2. Нуль знаменателя: $x=-2$, точка выколотая.
Шаг 3. Знак справа: при $x=0$ дробь равна $\frac{3}{2}$ — плюс, дальше влево чередуем.
$$+ \;\; [-3] \;\; - \;\; (-2) \;\; +$$
Шаг 4. Нужен знак $\leq 0$ — это средний промежуток: слева конец закрытый, справа открытый.
Осталось проверить выколотую точку $x=2$: она в найденный промежуток не попадает, значит ответ не меняется.
$$x \in [-3;-2)$$