Неравенства — Задание ОГЭ по математике №00024072

Всё уже разложено на множители, поэтому сразу работаем методом интервалов. Но здесь есть особенность: скобка $(x+1)$ стоит в квадрате.

Шаг 1. Нули числителя: $x+1=0$ даёт $x=-1$, а $x-5=0$ даёт $x=5$. Знак строгий, поэтому обе точки выколотые.

Шаг 2. Нуль знаменателя: $x+6=0$, то есть $x=-6$. Эта точка выколотая всегда.

Шаг 3. Порядок точек на прямой: $-6$, затем $-1$, затем $5$.

Шаг 4. Знак справа: при $x=6$ числитель равен $49\cdot 1$ — положительный, знаменатель $12$ — положительный, значит справа плюс.

Шаг 5. Идём влево. Через точку $5$ знак меняется на минус. А вот через точку $-1$ знак НЕ меняется, потому что множитель $(x+1)$ стоит в чётной степени: квадрат никогда не бывает отрицательным, он только обнуляется. Через точку $-6$ знак снова меняется.

$$+ \;\; (-6) \;\; - \;\; (-1) \;\; - \;\; (5) \;\; +$$

Шаг 6. Нужен плюс — это два крайних промежутка. Точка $-1$ в них не попадает, так что дополнительно исключать ничего не приходится.

$$x \in (-\infty;-6)\cup(5;+\infty)$$