ID: 00024033
Диагональ квадрата равна 20. Найдите сторону квадрата и угол между диагональю и стороной.
Ответ дайте выражением для длины (корень — буквами sqrt) и в градусах для угла, перечислив оба значения через точку с запятой, например 5sqrt3; 30.
Источник: Global_EE
Диагональ квадрата отрезает от него прямоугольный треугольник, у которого оба катета — стороны квадрата, а гипотенуза — сама диагональ.
Обозначим сторону буквой $a$. По теореме Пифагора для этого треугольника:
$$a^2 + a^2 = 20^2$$
Слева складываем одинаковые слагаемые, справа считаем квадрат.
$$2a^2 = 400$$
Делим обе части на 2.
$$a^2 = 200$$
Извлекаем корень и выносим полный квадрат.
$$a = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$$
Теперь угол. В том же треугольнике оба катета равны между собой, значит треугольник равнобедренный, и углы при гипотенузе равны.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, а раз они одинаковые, каждый вдвое меньше.
$$\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$
Это и есть угол между диагональю и стороной квадрата.