Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00024033

Диагональ квадрата отрезает от него прямоугольный треугольник, у которого оба катета — стороны квадрата, а гипотенуза — сама диагональ.

Обозначим сторону буквой $a$. По теореме Пифагора для этого треугольника:

$$a^2 + a^2 = 20^2$$

Слева складываем одинаковые слагаемые, справа считаем квадрат.

$$2a^2 = 400$$

Делим обе части на 2.

$$a^2 = 200$$

Извлекаем корень и выносим полный квадрат.

$$a = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$$

Теперь угол. В том же треугольнике оба катета равны между собой, значит треугольник равнобедренный, и углы при гипотенузе равны.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, а раз они одинаковые, каждый вдвое меньше.

$$\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

Это и есть угол между диагональю и стороной квадрата.