ID: 00024030
Диагонали параллелограмма равны 26, сторона $AB = 10$. Докажите, что этот параллелограмм — прямоугольник, и найдите сторону $BC$.
Ответ дайте целым числом. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Обозначим параллелограмм $ABCD$: $AB$ и $BC$ — две его соседние стороны, а $AC$ и $BD$ — диагонали, каждая длиной 26.
Сначала доказательство. Есть признак: если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник.
Почему так. У параллелограмма $AB = CD$, сторона $AD$ общая для треугольников $ABD$ и $DCA$, а диагонали равны по условию. Значит, треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по трём сторонам, откуда $\angle A = \angle D$.
Но углы $A$ и $D$ прилежат к одной стороне $AD$, поэтому в сумме дают $180^\circ$. Раз они равны и вместе дают $180^\circ$, каждый равен $90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Теперь вычисления. В прямоугольнике диагональ вместе с двумя соседними сторонами образует прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$.
Катеты — стороны $AB = 10$ и $BC$, гипотенуза — диагональ $AC = 26$. По теореме Пифагора:
$$10^2 + BC^2 = 26^2$$
Считаем квадраты.
$$100 + BC^2 = 676$$
$$BC^2 = 676 - 100 = 576$$
$$BC = \sqrt{576} = 24$$