Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00024030

Обозначим параллелограмм $ABCD$: $AB$ и $BC$ — две его соседние стороны, а $AC$ и $BD$ — диагонали, каждая длиной 26.

Сначала доказательство. Есть признак: если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник.

Почему так. У параллелограмма $AB = CD$, сторона $AD$ общая для треугольников $ABD$ и $DCA$, а диагонали равны по условию. Значит, треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по трём сторонам, откуда $\angle A = \angle D$.

Но углы $A$ и $D$ прилежат к одной стороне $AD$, поэтому в сумме дают $180^\circ$. Раз они равны и вместе дают $180^\circ$, каждый равен $90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Теперь вычисления. В прямоугольнике диагональ вместе с двумя соседними сторонами образует прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$.

Катеты — стороны $AB = 10$ и $BC$, гипотенуза — диагональ $AC = 26$. По теореме Пифагора:

$$10^2 + BC^2 = 26^2$$

Считаем квадраты.

$$100 + BC^2 = 676$$

$$BC^2 = 676 - 100 = 576$$

$$BC = \sqrt{576} = 24$$