ID: 00024027
Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, сторона $AB = 17$, одна из диагоналей равна 16. Найдите вторую диагональ и докажите, что этот параллелограмм — ромб.
Ответ дайте целым числом. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Обозначим параллелограмм $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ — буквой $O$.
Сначала доказательство. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит $AO = OC$ и $BO = OD$.
По условию диагонали перпендикулярны, то есть $BD$ — это прямая, проходящая через середину отрезка $AC$ под прямым углом к нему, а такая прямая называется серединным перпендикуляром.
Любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Точка $B$ лежит на нём, поэтому $AB = BC$.
Но у параллелограмма противоположные стороны и так равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Соединяя это с $AB = BC$, получаем, что все четыре стороны равны, а параллелограмм с равными сторонами — это ромб.
Теперь вычисления. Диагонали разрезают фигуру на четыре прямоугольных треугольника; возьмём треугольник $AOB$ с прямым углом при вершине $O$.
Один его катет — половина известной диагонали.
$$\frac{16}{2} = 8$$
Гипотенуза — сторона $AB = 17$. Второй катет обозначим $h$ — это половина искомой диагонали. По теореме Пифагора:
$$8^2 + h^2 = 17^2$$
$$64 + h^2 = 289$$
$$h^2 = 289 - 64 = 225$$
$$h = 15$$
Это только половина диагонали, поэтому удваиваем.
$$2 \cdot 15 = 30$$