Задание ОГЭ по математике: Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, сторона…

Обозначим параллелограмм ABCD, а точку пересечения его диагоналей AC и BD — буквой O.

Сначала доказательство. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит AO = OC и BO = OD.

По условию диагонали перпендикулярны, то есть BD — это прямая, проходящая через середину отрезка AC под прямым углом к нему, а такая прямая называется серединным перпендикуляром.

Любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Точка B лежит на нём, поэтому AB = BC.

Но у параллелограмма противоположные стороны и так равны: AB = CD и BC = AD. Соединяя это с AB = BC, получаем, что все четыре стороны равны, а параллелограмм с равными сторонами — это ромб.

Теперь вычисления. Диагонали разрезают фигуру на четыре прямоугольных треугольника; возьмём треугольник AOB с прямым углом при вершине O.

Один его катет — половина известной диагонали.

\frac{16}{2} = 8

Гипотенуза — сторона AB = 17. Второй катет обозначим h — это половина искомой диагонали. По теореме Пифагора:

8^2 + h^2 = 17^2

64 + h^2 = 289

h^2 = 289 - 64 = 225

h = 15

Это только половина диагонали, поэтому удваиваем.

2 \cdot 15 = 30