Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00024027

Обозначим параллелограмм $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ — буквой $O$.

Сначала доказательство. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит $AO = OC$ и $BO = OD$.

По условию диагонали перпендикулярны, то есть $BD$ — это прямая, проходящая через середину отрезка $AC$ под прямым углом к нему, а такая прямая называется серединным перпендикуляром.

Любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Точка $B$ лежит на нём, поэтому $AB = BC$.

Но у параллелограмма противоположные стороны и так равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Соединяя это с $AB = BC$, получаем, что все четыре стороны равны, а параллелограмм с равными сторонами — это ромб.

Теперь вычисления. Диагонали разрезают фигуру на четыре прямоугольных треугольника; возьмём треугольник $AOB$ с прямым углом при вершине $O$.

Один его катет — половина известной диагонали.

$$\frac{16}{2} = 8$$

Гипотенуза — сторона $AB = 17$. Второй катет обозначим $h$ — это половина искомой диагонали. По теореме Пифагора:

$$8^2 + h^2 = 17^2$$

$$64 + h^2 = 289$$

$$h^2 = 289 - 64 = 225$$

$$h = 15$$

Это только половина диагонали, поэтому удваиваем.

$$2 \cdot 15 = 30$$