Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00024023

Обозначим четырёхугольник $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ — буквой $O$.

Что нам сказали: точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части ($AO = OC$) и диагональ $BD$ тоже на две равные части ($BO = OD$). То есть каждая диагональ проходит ровно через середину другой.

Есть готовый признак: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Наш случай — ровно он.

Почему признак работает, видно на треугольниках $AOB$ и $COD$: у них $AO = OC$, $BO = OD$, а углы при вершине $O$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. А эти углы — накрест лежащие при прямых $AB$ и $CD$ с секущей $AC$, поэтому $AB \parallel CD$.

Получилось, что стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны — это и есть параллелограмм.

Теперь длины диагоналей. Диагональ $AC$ состоит из двух кусков по 9.

$$AC = AO + OC = 9 + 9 = 18$$

Диагональ $BD$ состоит из двух кусков по $6{,}5$.

$$BD = BO + OD = 6{,}5 + 6{,}5 = 13$$