ID: 00024023
Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC = 9$, $BO = OD = 6{,}5$. Найдите диагонали и докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Обозначим четырёхугольник $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ — буквой $O$.
Что нам сказали: точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части ($AO = OC$) и диагональ $BD$ тоже на две равные части ($BO = OD$). То есть каждая диагональ проходит ровно через середину другой.
Есть готовый признак: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Наш случай — ровно он.
Почему признак работает, видно на треугольниках $AOB$ и $COD$: у них $AO = OC$, $BO = OD$, а углы при вершине $O$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. А эти углы — накрест лежащие при прямых $AB$ и $CD$ с секущей $AC$, поэтому $AB \parallel CD$.
Получилось, что стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны — это и есть параллелограмм.
Теперь длины диагоналей. Диагональ $AC$ состоит из двух кусков по 9.
$$AC = AO + OC = 9 + 9 = 18$$
Диагональ $BD$ состоит из двух кусков по $6{,}5$.
$$BD = BO + OD = 6{,}5 + 6{,}5 = 13$$