Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам: AO равно OC равно 9 , BO равно OD равно 6, 5 . Найдите диагонали и докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Фигура — параллелограмм, AC=18, BD=13

Задание ОГЭ по математике: Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам:…

№2. Задание без номера

ID: 00024023

Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC = 9$ , $BO = OD = 6{,}5$ . Найдите диагонали и докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Источник: Global_EE

Решение

Обозначим четырёхугольник $ABCD$ , а точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$ — буквой $O$ .

Что нам сказали: точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части ( $AO = OC$ ) и диагональ $BD$ тоже на две равные части ( $BO = OD$ ). То есть каждая диагональ проходит ровно через середину другой.

Есть готовый признак: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Наш случай — ровно он.

Почему признак работает, видно на треугольниках $AOB$ и $COD$ : у них $AO = OC$ , $BO = OD$ , а углы при вершине $O$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$ . А эти углы — накрест лежащие при прямых $AB$ и $CD$ с секущей $AC$ , поэтому $AB \parallel CD$ .

Получилось, что стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны — это и есть параллелограмм.

Теперь длины диагоналей. Диагональ $AC$ состоит из двух кусков по 9.

$AC = AO + OC = 9 + 9 = 18$

Диагональ $BD$ состоит из двух кусков по $6{,}5$ .

$BD = BO + OD = 6{,}5 + 6{,}5 = 13$

Ответ

AC=18, BD=13 / 18, 13