ID: 00023813
Решите неравенство: $\frac{x^2-x-6}{x^2-9}\leq 0$.
Ответ дайте неравенством, например x>5 или 2<=x<=7.
Источник: Global_EE
И числитель, и знаменатель — квадратные выражения. Разложим их на множители, тогда станет видно, что можно сократить.
Числитель: дискриминант $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25$, корни $x=\frac{1\pm 5}{2}$, то есть $3$ и $-2$. Значит $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.
Знаменатель — разность квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
$$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \leq 0$$
Прежде чем сокращать, зафиксируем область допустимых значений: знаменатель не должен быть нулём, поэтому $x\neq 3$ и $x\neq -3$. Эти запреты остаются в силе и после сокращения.
Сокращаем на $(x-3)$.
$$\frac{x+2}{x+3} \leq 0$$
Точки: $x=-2$ (нуль числителя, входит) и $x=-3$ (нуль знаменателя, выколот). Проверим знак справа, при $x=0$: $\frac{2}{3}$ — плюс. Значит на $(-3;-2)$ минус, а левее $-3$ снова плюс.
Берём промежуток со знаком минус вместе с точкой $-2$.
$$x\in(-3;-2]$$
Точка $x=3$ в этот промежуток и так не попадает, поэтому дополнительно ничего выкалывать не нужно.