ID: 00023813
Решите неравенство: \frac{x^2-x-6}{x^2-9}\leq 0.
Источник: Global_EE
И числитель, и знаменатель — квадратные выражения. Разложим их на множители, тогда станет видно, что можно сократить.
Числитель: дискриминант D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25, корни x=\frac{1\pm 5}{2}, то есть 3 и -2. Значит x^2-x-6=(x-3)(x+2).
Знаменатель — разность квадратов: x^2-9=(x-3)(x+3).
\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \leq 0
Прежде чем сокращать, зафиксируем область допустимых значений: знаменатель не должен быть нулём, поэтому x\neq 3 и x\neq -3. Эти запреты остаются в силе и после сокращения.
Сокращаем на (x-3).
\frac{x+2}{x+3} \leq 0
Точки: x=-2 (нуль числителя, входит) и x=-3 (нуль знаменателя, выколот). Проверим знак справа, при x=0: \frac{2}{3} — плюс. Значит на (-3;-2) минус, а левее -3 снова плюс.
Берём промежуток со знаком минус вместе с точкой -2.
x\in(-3;-2]
Точка x=3 в этот промежуток и так не попадает, поэтому дополнительно ничего выкалывать не нужно.