Неравенства — Задание ОГЭ по математике №00023813

И числитель, и знаменатель — квадратные выражения. Разложим их на множители, тогда станет видно, что можно сократить.

Числитель: дискриминант $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25$, корни $x=\frac{1\pm 5}{2}$, то есть $3$ и $-2$. Значит $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

Знаменатель — разность квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

$$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \leq 0$$

Прежде чем сокращать, зафиксируем область допустимых значений: знаменатель не должен быть нулём, поэтому $x\neq 3$ и $x\neq -3$. Эти запреты остаются в силе и после сокращения.

Сокращаем на $(x-3)$.

$$\frac{x+2}{x+3} \leq 0$$

Точки: $x=-2$ (нуль числителя, входит) и $x=-3$ (нуль знаменателя, выколот). Проверим знак справа, при $x=0$: $\frac{2}{3}$ — плюс. Значит на $(-3;-2)$ минус, а левее $-3$ снова плюс.

Берём промежуток со знаком минус вместе с точкой $-2$.

$$x\in(-3;-2]$$

Точка $x=3$ в этот промежуток и так не попадает, поэтому дополнительно ничего выкалывать не нужно.