ID: 00023773
Диагональ квадрата равна 16. Найдите сторону и угол, который диагональ образует со стороной.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2.
Источник: Global_EE
Здесь два вопроса: про длину и про угол. Начнём с длины.
Диагональ квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$, потому что диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с равными катетами $a$.
$$16 = a\sqrt{2}$$
Выражаем сторону.
$$a = \frac{16}{\sqrt{2}}$$
Корень в знаменателе оставлять неудобно, поэтому избавимся от него: домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$.
$$a = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$
Теперь угол. Диагональ квадрата отсекает треугольник, у которого прямой угол — угол самого квадрата, а два катета равны. Треугольник равнобедренный и прямоугольный, значит два острых угла равны и вместе дают $90^\circ$.
$$\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$
Тот же вывод даёт и другое рассуждение: диагональ квадрата — биссектриса его прямого угла, а половина от $90^\circ$ — это $45^\circ$.