Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00023773

Здесь два вопроса: про длину и про угол. Начнём с длины.

Диагональ квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$, потому что диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с равными катетами $a$.

$$16 = a\sqrt{2}$$

Выражаем сторону.

$$a = \frac{16}{\sqrt{2}}$$

Корень в знаменателе оставлять неудобно, поэтому избавимся от него: домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$.

$$a = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$

Теперь угол. Диагональ квадрата отсекает треугольник, у которого прямой угол — угол самого квадрата, а два катета равны. Треугольник равнобедренный и прямоугольный, значит два острых угла равны и вместе дают $90^\circ$.

$$\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

Тот же вывод даёт и другое рассуждение: диагональ квадрата — биссектриса его прямого угла, а половина от $90^\circ$ — это $45^\circ$.