ID: 00023770
В параллелограмме $ABCD$ диагонали равны: $AC = BD = 20$, сторона $AB = 12$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник, и найдите сторону $BC$.
Ответ дайте целым числом. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Есть признак прямоугольника: если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник. У нас как раз $AC = BD$, значит $ABCD$ — прямоугольник.
Коротко о том, почему так. Треугольники $ABC$ и $DCB$ имеют общую сторону $BC$, равные стороны $AB = CD$ (свойство параллелограмма) и равные диагонали $AC = BD$. Значит, они равны по трём сторонам, откуда $\angle ABC = \angle DCB$. Но эти углы — соседние углы параллелограмма, и в сумме они дают $180^\circ$, поэтому каждый равен $90^\circ$. Все углы прямые — это прямоугольник.
Теперь считаем сторону. В прямоугольнике диагональ образует прямоугольный треугольник со сторонами $AB$ и $BC$.
$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$
Подставляем известные числа.
$$12^2 + BC^2 = 20^2$$
Считаем квадраты.
$$144 + BC^2 = 400$$
Переносим 144 вправо.
$$BC^2 = 256$$
Извлекаем корень.
$$BC = 16$$