ID: 00023770
В параллелограмме ABCD диагонали равны: AC = BD = 20, сторона AB = 12. Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите сторону BC.
Источник: Global_EE
Есть признак прямоугольника: если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник. У нас как раз AC = BD, значит ABCD — прямоугольник.
Коротко о том, почему так. Треугольники ABC и DCB имеют общую сторону BC, равные стороны AB = CD (свойство параллелограмма) и равные диагонали AC = BD. Значит, они равны по трём сторонам, откуда \angle ABC = \angle DCB. Но эти углы — соседние углы параллелограмма, и в сумме они дают 180^\circ, поэтому каждый равен 90^\circ. Все углы прямые — это прямоугольник.
Теперь считаем сторону. В прямоугольнике диагональ образует прямоугольный треугольник со сторонами AB и BC.
AB^2 + BC^2 = AC^2
Подставляем известные числа.
12^2 + BC^2 = 20^2
Считаем квадраты.
144 + BC^2 = 400
Переносим 144 вправо.
BC^2 = 256
Извлекаем корень.
BC = 16