ID: 00023767
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются под углом 90^\circ. Докажите, что ABCD — ромб, и, если сторона AB = 15, а одна диагональ равна 18, найдите вторую диагональ.
Источник: Global_EE
Сначала докажем, что перед нами ромб. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения O делятся пополам, то есть AO = OC.
По условию диагонали перпендикулярны, значит отрезок BO в треугольнике ABC — это одновременно и медиана (делит AC пополам), и высота (перпендикулярна AC).
Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, треугольник равнобедренный, поэтому AB = BC. А у параллелограмма с двумя равными соседними сторонами равны все четыре стороны — это и есть ромб.
Теперь считаем. Половина известной диагонали равна:
\frac{18}{2} = 9
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому половинки диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, а сторона AB = 15 — гипотенуза. Обозначим вторую половинку за x и запишем теорему Пифагора.
9^2 + x^2 = 15^2
Считаем квадраты.
81 + x^2 = 225
Переносим 81 вправо.
x^2 = 144
Берём положительный корень, ведь это длина.
x = 12
Вся вторая диагональ вдвое длиннее своей половины.
d = 2 \cdot 12 = 24