Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00023767

Сначала докажем, что перед нами ромб. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, то есть $AO = OC$.

По условию диагонали перпендикулярны, значит отрезок $BO$ в треугольнике $ABC$ — это одновременно и медиана (делит $AC$ пополам), и высота (перпендикулярна $AC$).

Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, треугольник равнобедренный, поэтому $AB = BC$. А у параллелограмма с двумя равными соседними сторонами равны все четыре стороны — это и есть ромб.

Теперь считаем. Половина известной диагонали равна:

$$\frac{18}{2} = 9$$

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому половинки диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, а сторона $AB = 15$ — гипотенуза. Обозначим вторую половинку за $x$ и запишем теорему Пифагора.

$$9^2 + x^2 = 15^2$$

Считаем квадраты.

$$81 + x^2 = 225$$

Переносим 81 вправо.

$$x^2 = 144$$

Берём положительный корень, ведь это длина.

$$x = 12$$

Вся вторая диагональ вдвое длиннее своей половины.

$$d = 2 \cdot 12 = 24$$