ID: 00023767
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются под углом $90^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — ромб, и, если сторона $AB = 15$, а одна диагональ равна 18, найдите вторую диагональ.
Ответ дайте целым числом. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Сначала докажем, что перед нами ромб. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, то есть $AO = OC$.
По условию диагонали перпендикулярны, значит отрезок $BO$ в треугольнике $ABC$ — это одновременно и медиана (делит $AC$ пополам), и высота (перпендикулярна $AC$).
Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, треугольник равнобедренный, поэтому $AB = BC$. А у параллелограмма с двумя равными соседними сторонами равны все четыре стороны — это и есть ромб.
Теперь считаем. Половина известной диагонали равна:
$$\frac{18}{2} = 9$$
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому половинки диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, а сторона $AB = 15$ — гипотенуза. Обозначим вторую половинку за $x$ и запишем теорему Пифагора.
$$9^2 + x^2 = 15^2$$
Считаем квадраты.
$$81 + x^2 = 225$$
Переносим 81 вправо.
$$x^2 = 144$$
Берём положительный корень, ведь это длина.
$$x = 12$$
Вся вторая диагональ вдвое длиннее своей половины.
$$d = 2 \cdot 12 = 24$$