ID: 00023764
В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$, $AB = 6$. Найдите $BE$ и докажите, что треугольник $ABE$ равнобедренный.
Ответ дайте целым числом. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Биссектриса угла $A$ — это луч, который делит угол $A$ пополам. Он выходит из вершины $A$ и упирается в сторону $BC$ в точке $E$, отрезая треугольник $ABE$.
Ключ к задаче — параллельность сторон. В параллелограмме $BC \parallel AD$, а отрезок $AE$ — секущая для этих двух параллельных прямых.
При параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны, поэтому угол $AEB$ равен углу $EAD$.
$$\angle AEB = \angle EAD$$
Но $AE$ — биссектриса, значит она разрезала угол $A$ на две равные части, и $\angle EAD = \angle BAE$.
$$\angle BAE = \angle EAD = \angle AEB$$
Получилось, что в треугольнике $ABE$ два угла при основании $AE$ равны: $\angle BAE = \angle AEB$. По признаку равнобедренного треугольника такой треугольник равнобедренный, и стороны, лежащие против этих равных углов, тоже равны.
$$BE = AB$$
Подставляем известную длину.
$$BE = 6$$