Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O , причём AO равно OC равно 7 , BO равно OD равно 5 . Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.

ABCD — параллелограмм, AC=14, BD=10

Задание ОГЭ по математике: Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O , причём…

№2. Задание без номера

ID: 00023763

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ , причём $AO = OC = 7$ , $BO = OD = 5$ . Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.

Источник: Global_EE

Решение

Разберёмся, что нам вообще дано. Точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части ( $AO = OC$ ) и диагональ $BD$ тоже на две равные части ( $BO = OD$ ). То есть каждая диагональ проходит ровно через середину другой.

Есть готовый признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Наш случай — ровно он, значит $ABCD$ — параллелограмм.

Почему признак работает, видно из треугольников $AOB$ и $COD$ : у них $AO = OC$ , $BO = OD$ , а углы при вершине $O$ равны как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а из равенства треугольников следует не только $AB = CD$ , но и $\angle OAB = \angle OCD$ .

А это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$ — значит, $AB \parallel CD$ .

Итого стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, а четырёхугольник с равными и параллельными противоположными сторонами и есть параллелограмм.

Теперь длины. Диагональ $AC$ состоит из двух кусков по 7.

$AC = AO + OC = 7 + 7 = 14$

Диагональ $BD$ состоит из двух кусков по 5.

$BD = BO + OD = 5 + 5 = 10$

Ответ

AC=14, BD=10 / 14, 10