ID: 00023763
Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC = 7$, $BO = OD = 5$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой. В ответ запишите найденное значение; доказательство запишите в тетради.
Источник: Global_EE
Разберёмся, что нам вообще дано. Точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части ($AO = OC$) и диагональ $BD$ тоже на две равные части ($BO = OD$). То есть каждая диагональ проходит ровно через середину другой.
Есть готовый признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Наш случай — ровно он, значит $ABCD$ — параллелограмм.
Почему признак работает, видно из треугольников $AOB$ и $COD$: у них $AO = OC$, $BO = OD$, а углы при вершине $O$ равны как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а из равенства треугольников следует не только $AB = CD$, но и $\angle OAB = \angle OCD$.
А это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$ — значит, $AB \parallel CD$.
Итого стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, а четырёхугольник с равными и параллельными противоположными сторонами и есть параллелограмм.
Теперь длины. Диагональ $AC$ состоит из двух кусков по 7.
$$AC = AO + OC = 7 + 7 = 14$$
Диагональ $BD$ состоит из двух кусков по 5.
$$BD = BO + OD = 5 + 5 = 10$$