Четырёхугольник… — Задание ОГЭ по математике №00023763

Разберёмся, что нам вообще дано. Точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части ($AO = OC$) и диагональ $BD$ тоже на две равные части ($BO = OD$). То есть каждая диагональ проходит ровно через середину другой.

Есть готовый признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Наш случай — ровно он, значит $ABCD$ — параллелограмм.

Почему признак работает, видно из треугольников $AOB$ и $COD$: у них $AO = OC$, $BO = OD$, а углы при вершине $O$ равны как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а из равенства треугольников следует не только $AB = CD$, но и $\angle OAB = \angle OCD$.

А это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$ — значит, $AB \parallel CD$.

Итого стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, а четырёхугольник с равными и параллельными противоположными сторонами и есть параллелограмм.

Теперь длины. Диагональ $AC$ состоит из двух кусков по 7.

$$AC = AO + OC = 7 + 7 = 14$$

Диагональ $BD$ состоит из двух кусков по 5.

$$BD = BO + OD = 5 + 5 = 10$$