ID: 00023761
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A = \angle B$ и $\angle C = \angle D$, причём $\angle A$ на $40^\circ$ больше $\angle C$. Найдите все углы.
Ответ дайте в градусах. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Здесь углы разбиты на две пары: два одинаковых больших и два одинаковых поменьше. Значит, достаточно найти всего одно число — например, величину меньшего угла.
Обозначим $\angle C = x$. Тогда и $\angle D = x$, а угол $A$ на $40^\circ$ больше, то есть $\angle A = x + 40^\circ$, и такой же угол $B$.
Сумма всех четырёх углов четырёхугольника равна $360^\circ$ — записываем это уравнение.
$$(x + 40^\circ) + (x + 40^\circ) + x + x = 360^\circ$$
Собираем слева всё вместе: четыре икса и два раза по $40^\circ$.
$$4x + 80^\circ = 360^\circ$$
Переносим $80^\circ$ вправо.
$$4x = 280^\circ$$
Делим на 4 и получаем меньший угол.
$$x = 70^\circ$$
Значит, $\angle C = \angle D = 70^\circ$, а большие углы на $40^\circ$ больше.
$$\angle A = \angle B = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$$