Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013271

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013271

Внутри параллелограмма $$ABCD$$ выбрали произвольную точку $$E$$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $$ABE$$ и $$CED$$ равна половине площади параллелограмма.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. перпендикуляры от точки к двум противоположным сторонам в сумме дают высоту параллелограмма.

Пусть в параллелограмме $$ABCD$$ выбрана точка $$E$$ ; обозначим сторону $$BC=AD=a$$ и высоту параллелограмма (расстояние между прямыми $$BC$$ и $$AD$$ ) через $$h$$ .

Опустим из точки $$E$$ перпендикуляры на прямые $$BC$$ и $$AD$$ ; их длины $$h_1$$ и $$h_2$$ в сумме дают высоту параллелограмма: $$h_1+h_2=h$$ .

Площадь треугольника с основанием $$BC$$ и вершиной $$E$$ равна $\dfrac{1}{2}a\,h_1$ , а треугольника с основанием $$AD$$ и вершиной $$E$$ — $\dfrac{1}{2}a\,h_2$ .

Сложим: $\dfrac{1}{2}a\,h_1+\dfrac{1}{2}a\,h_2=\dfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\dfrac{1}{2}a\,h$ .

Но $a\,h$ — это площадь параллелограмма $$S$$ , поэтому сумма площадей треугольников равна $\dfrac{1}{2}S$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

S_{ABE}+S_{CED}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}

— перпендикуляры из точки

$E$

на противоположные стороны

$AB$

$CD$

в сумме дают высоту параллелограмма, поэтому суммарная площадь равна

\dfrac{1}{2}AB\cdot h=\dfrac{1}{2}S

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)