Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00009808

💡 Идея. касательная из вершины даёт произведение отрезков, а центр найдём по хорде и условию касания.

Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $E$. По свойству касательной квадрат касательной равен произведению секущей: $AE^2=AM\cdot AN=9\cdot 32=288$, поэтому $AE=\sqrt{288}$.

Центр $O$ окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $MN$ (она на прямой $AC$), то есть на расстоянии $\dfrac{AM+AN}{2}=20.5$ от $A$ вдоль $AC$ и на некоторой высоте $k$ над $AC$.

Радиус выражается как $R^2=k^2+\left(\dfrac{AN-AM}{2}\right)^2=k^2+11.5^2$, где $\dfrac{AN-AM}{2}=11.5$ — половина хорды $MN$.

Условие касания прямой $AB$ (расстояние от $O$ до $AB$ равно $R$) с учётом $\cos\angle BAC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ (откуда $\sin\angle BAC=0.3333$) даёт уравнение на $k$.

Решая его, находим радиус $R=13,5$.