ID: 00009806
Окружности радиусов $33$ и $99$ касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. расстояние между касательными-хордами найдём из подобия с радиусами.
Пусть окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $33$ и $99$ касаются в точке $P$; $AC$ и $BD$ — их общие касательные, $A,B$ на первой, $C,D$ на второй.
Прямые $AB$ и $CD$ — это хорды, соединяющие точки касания на каждой окружности; обе перпендикулярны линии центров $O_1O_2$ по симметрии конфигурации, значит $AB\parallel CD$.
Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно сумме расстояний от точки касания $P$ до каждой из них; эти расстояния находятся из подобия прямоугольных треугольников с радиусами $r_1$ и $r_2$ и общей касательной.
Итоговая формула для расстояния между $AB$ и $CD$: $d=\dfrac{4r_1 r_2}{r_1+r_2}$.
Подставляем: $d=\dfrac{4\cdot 33\cdot 99}{33+99}=\dfrac{13068}{132}=99$.
$99$