Треугольники

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

№2. Задание 25

ID: 00009804

На стороне $$BC$$ остроугольного треугольника $$ABC$$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $$AD$$ в точке $$M$$ . $$AD = 16$$ , $$MD = 4$$ , $$H$$ — точка пересечения высот треугольника $$ABC$$ . Найдите $$AH$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. свяжем высоту, точку на полуокружности и точку пересечения высот через произведения отрезков.

Точка $$M$$ лежит на полуокружности с диаметром $$BC$$ , поэтому $\angle BMC=90^\circ$ , и $$MD$$ — высота прямоугольного треугольника $$BMC$$ , опущенная на гипотенузу $$BC$$ .

По свойству высоты прямоугольного треугольника $MD^2=BD\cdot DC$ , то есть $BD\cdot DC=4^2=16$ .

С другой стороны, для точки пересечения высот (ортоцентра) $$H$$ выполняется $AD\cdot DH=BD\cdot DC$ (произведение отрезков высоты $$AD$$ равно произведению отрезков стороны $$BC$$ ).

Отсюда $DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}=\dfrac{16}{16}=1$ .

Тогда $$AH=AD-DH=16-1=15$$ .

Ответ

$$15$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники» (8)