ID: 00009804
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$. $AD = 16$, $MD = 4$, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. свяжем высоту, точку на полуокружности и точку пересечения высот через произведения отрезков.
Точка $M$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$, поэтому $\angle BMC=90^\circ$, и $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC$, опущенная на гипотенузу $BC$.
По свойству высоты прямоугольного треугольника $MD^2=BD\cdot DC$, то есть $BD\cdot DC=4^2=16$.
С другой стороны, для точки пересечения высот (ортоцентра) $H$ выполняется $AD\cdot DH=BD\cdot DC$ (произведение отрезков высоты $AD$ равно произведению отрезков стороны $BC$).
Отсюда $DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}=\dfrac{16}{16}=1$.
Тогда $AH=AD-DH=16-1=15$.
$15$