ID: 00009799
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен $100$, а площадь равна $500$, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. вписанная окружность даёт равенство сумм сторон — отсюда найдём основания и высоту.
В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, значит суммы противоположных сторон равны: сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна половине периметра, $100:2=50$.
Боковые стороны равны (трапеция равнобедренная), поэтому каждая равна $100:4=25$.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$. Полусумма оснований равна $25$, поэтому высота $h=\dfrac{500}{25}=20$.
Из боковой стороны и высоты найдём разность оснований: проекция боковой стороны равна $\sqrt{25^2-20^2}=15$, значит $a-b=30$.
С учётом $a+b=50$ получаем основания $a=40$ и $b=10$.
Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований $b:a$, считая от меньшего основания. Расстояние до меньшего основания равно $h\cdot\dfrac{b}{a+b}=20\cdot\dfrac{10}{50}=4$.
$4$