Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00009799

💡 Идея. вписанная окружность даёт равенство сумм сторон — отсюда найдём основания и высоту.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, значит суммы противоположных сторон равны: сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна половине периметра, $100:2=50$.

Боковые стороны равны (трапеция равнобедренная), поэтому каждая равна $100:4=25$.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$. Полусумма оснований равна $25$, поэтому высота $h=\dfrac{500}{25}=20$.

Из боковой стороны и высоты найдём разность оснований: проекция боковой стороны равна $\sqrt{25^2-20^2}=15$, значит $a-b=30$.

С учётом $a+b=50$ получаем основания $a=40$ и $b=10$.

Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований $b:a$, считая от меньшего основания. Расстояние до меньшего основания равно $h\cdot\dfrac{b}{a+b}=20\cdot\dfrac{10}{50}=4$.