ID: 00009797
Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$,
Источник: ФИПИ
💡 Идея. точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла — соберём три прямые вместе.
Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$.
Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, поэтому она равноудалена от сторон этого угла — от прямых $BC$ и $CD$.
Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $D$, поэтому она равноудалена от прямых $CD$ и $DA$.
Из двух условий следует, что расстояния от точки $P$ до прямых $BC$, $CD$ и $DA$ равны между собой.
Значит точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $DA$, что и требовалось доказать.