ID: 00009796
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. половины диагоналей равны, а углы — вертикальные и накрест лежащие; треугольники равны.
Пусть прямая проходит через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ и пересекает противоположные стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$.
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO=DO$.
Рассмотрим треугольники $BOP$ и $DOQ$: $BO=DO$, углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а $\angle OBP=\angle ODQ$ как накрест лежащие при $AB\parallel CD$.
Значит треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следуют равные соответствующие стороны $BP=DQ$, что и требовалось доказать.