Global EE

Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009796

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00009796

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. половины диагоналей равны, а углы — вертикальные и накрест лежащие; треугольники равны.

Пусть прямая проходит через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ и пересекает противоположные стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO=DO$.

Рассмотрим треугольники $BOP$ и $DOQ$: $BO=DO$, углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а $\angle OBP=\angle ODQ$ как накрест лежащие при $AB\parallel CD$.

Значит треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следуют равные соответствующие стороны $BP=DQ$, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: $BP=DQ$ — треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по стороне и двум прилежащим углам ($BO=DO$ как половины диагонали, углы при $O$ вертикальные, $\angle OBP=\angle ODQ$ накрест лежащие при $AB\parallel CD$)

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)