ID: 00009784
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, и половины стороны оказываются равными.
Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$.
Биссектриса угла $A$ образует с основанием $CD$ накрест лежащие равные углы (стороны параллелограмма параллельны), поэтому отсекает равнобедренный треугольник: отрезок $CN$ равен прилежащей боковой стороне.
Точно так же биссектриса угла $B$ даёт равнобедренный треугольник у другого конца, и отрезок $ND$ равен другой боковой стороне.
В параллелограмме противоположные (боковые) стороны равны, поэтому $CN=ND$.
Точка $N$ делит сторону $CD$ на две равные части $CN=ND$, значит $N$ — середина $CD$, что и требовалось доказать.