ID: 00009294
Из $A$ в $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью $30$ $\text{км}/\text{ч}$, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на $9$ $\text{км}/\text{ч}$, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Источник: ФИПИ
Обозначим скорость первого автомобиля за $v$ км/ч — он проезжает весь путь с этой скоростью.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь |
|---|---|---|---|
Первый (весь путь) | $v$ | $\dfrac{2s}{v}$ | $2s$ |
Второй, 1-я половина | $30$ | $\dfrac{s}{30}$ | $s$ |
Второй, 2-я половина | $v+9$ | $\dfrac{s}{v+9}$ | $s$ |
Пусть весь путь равен $2s$ км. Тогда первый тратит на него время $\dfrac{2s}{v}$.
Второй первую половину ($s$ км) ехал со скоростью $30$ км/ч, а вторую половину — со скоростью $v+9$ км/ч; его время $\dfrac{s}{30}+\dfrac{s}{v+9}$.
Оба прибыли одновременно, поэтому времена равны. Разделив всё на $s$, получаем $\dfrac{2}{v}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{v+9}.$
Приведя к общему знаменателю и упростив, приходим к квадратному уравнению, единственный подходящий корень которого $v=36$.
Скорость первого автомобиля равна $36$ км/ч.
$36$ $\text{км}/\text{ч}$