ID: 00009282
Моторная лодка прошла против течения реки $132$ $\text{км}$ и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $5$ часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $5$ $\text{км}/\text{ч}$.
Источник: ФИПИ
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч (по смыслу $v>5$).
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Против течения | $v-5$ | $\dfrac{132}{v-5}$ | $132$ |
По течению | $v+5$ | $\dfrac{132}{v+5}$ | $132$ |
Против течения лодка идёт со скоростью $v-5$ км/ч, обратно (по течению) — со скоростью $v+5$ км/ч.
Путь в каждую сторону одинаков и равен $132$ км. Время против течения $\dfrac{132}{v-5}$ ч, по течению $\dfrac{132}{v+5}$ ч.
На обратный путь ушло на $5$ ч меньше, значит время против течения больше на $5$:
$$\dfrac{132}{v-5}-\dfrac{132}{v+5}=5.$$
Приведём к общему знаменателю $v^2-25$: в числителе $132(v+5)-132(v-5)=1320$, поэтому
$$1320=5\,(v^2-25).$$
Отсюда $v^2=25+\dfrac{1320}{5}=289$, и значит $v=17$ км/ч (отрицательное значение отбрасываем).
Проверка: $\dfrac{132}{12}-\dfrac{132}{22}=5$ ч — верно. Скорость лодки в неподвижной воде равна $17$ км/ч.
$17$ $\text{км}/\text{ч}$