ID: 00009281
Моторная лодка прошла против течения реки $192$ $\text{км}$ и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $4$ $\text{км}/\text{ч}$.
Источник: ФИПИ
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч (по смыслу $v>4$).
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Против течения | $v-4$ | $\dfrac{192}{v-4}$ | $192$ |
По течению | $v+4$ | $\dfrac{192}{v+4}$ | $192$ |
Против течения лодка идёт со скоростью $v-4$ км/ч, обратно (по течению) — со скоростью $v+4$ км/ч.
Путь в каждую сторону одинаков и равен $192$ км. Время против течения $\dfrac{192}{v-4}$ ч, по течению $\dfrac{192}{v+4}$ ч.
На обратный путь ушло на $4$ ч меньше, значит время против течения больше на $4$:
$$\dfrac{192}{v-4}-\dfrac{192}{v+4}=4.$$
Приведём к общему знаменателю $v^2-16$: в числителе $192(v+4)-192(v-4)=1536$, поэтому
$$1536=4\,(v^2-16).$$
Отсюда $v^2=16+\dfrac{1536}{4}=400$, и значит $v=20$ км/ч (отрицательное значение отбрасываем).
Проверка: $\dfrac{192}{16}-\dfrac{192}{24}=4$ ч — верно. Скорость лодки в неподвижной воде равна $20$ км/ч.
$20$ $\text{км}/\text{ч}$