💡 Идея. касательная из вершины даёт произведение отрезков, а центр найдём по хорде и условию касания.

Пусть окружность касается луча AB в точке E. По свойству касательной квадрат касательной равен произведению секущей: AE^2=AM\cdot AN=9\cdot 11=99, поэтому AE=\sqrt{99}.

Центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде MN (она на прямой AC), то есть на расстоянии \dfrac{AM+AN}{2}=10 от A вдоль AC и на некоторой высоте k над AC.

Радиус выражается как R^2=k^2+\left(\dfrac{AN-AM}{2}\right)^2=k^2+1^2, где \dfrac{AN-AM}{2}=1 — половина хорды MN.

Условие касания прямой AB (расстояние от O до AB равно R) с учётом \cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{11}}{6} (откуда \sin\angle BAC=0.8333) даёт уравнение на k.

Решая его, находим радиус R=5,4.