Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006372

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00006372

Биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$ , лежащей на стороне $$AD$$ . Докажите, что $$M$$ – середина $$AD$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, и половины стороны оказываются равными.

Пусть в параллелограмме $$ABCD$$ биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$M$$ , лежащей на стороне $$AD$$ .

Биссектриса угла $$B$$ образует с основанием $$AD$$ накрест лежащие равные углы (стороны параллелограмма параллельны), поэтому отсекает равнобедренный треугольник: отрезок $$AM$$ равен прилежащей боковой стороне.

Точно так же биссектриса угла $$C$$ даёт равнобедренный треугольник у другого конца, и отрезок $$MD$$ равен другой боковой стороне.

В параллелограмме противоположные (боковые) стороны равны, поэтому $$AM=MD$$ .

Точка $$M$$ делит сторону $$AD$$ на две равные части $$AM=MD$$ , значит $$M$$ — середина $$AD$$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

$M$

— середина

$AD$

— каждая биссектриса при основании

$AD$

даёт накрест лежащие равные углы и отсекает равнобедренный треугольник, поэтому

$AM=AB$

$MD=CD$

, а противоположные стороны параллелограмма равны (

$AB=CD$

)

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)