ID: 00006372
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ – середина $AD$ .
Источник: ФИПИ
💡 Идея. каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, и половины стороны оказываются равными.
Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$.
Биссектриса угла $B$ образует с основанием $AD$ накрест лежащие равные углы (стороны параллелограмма параллельны), поэтому отсекает равнобедренный треугольник: отрезок $AM$ равен прилежащей боковой стороне.
Точно так же биссектриса угла $C$ даёт равнобедренный треугольник у другого конца, и отрезок $MD$ равен другой боковой стороне.
В параллелограмме противоположные (боковые) стороны равны, поэтому $AM=MD$.
Точка $M$ делит сторону $AD$ на две равные части $AM=MD$, значит $M$ — середина $AD$, что и требовалось доказать.