Окружности

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00006362

Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$ . Найдите длину отрезка $$KP$$ , если $$AP = 34$$ , а сторона $$BC$$ в 2 раза меньше стороны $$AB$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через вершины $$B$$ и $$C$$ и пересекает стороны $$AB$$ , $$AC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ ; сторона $$BC$$ в $$2$$ раза меньше стороны $$AB$$ .

Четырёхугольник $$KBCP$$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $$K$$ равен внутреннему при $$C$$ : $\angle AKP=\angle ACB$ . Угол $$A$$ — общий.

Значит $\triangle AKP\sim\triangle ACB$ , и соответственные стороны пропорциональны.

Отсюда $\dfrac{KP}{BC}=\dfrac{AP}{AB}$ . Поскольку $$AP=34$$ , а $AB=2\,BC$ , получаем $KP=\dfrac{34}{2}=17$ .

Длина отрезка $$KP$$ равна $$17$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Окружности» (8)