ID: 00006362
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $KP$ , если $AP = 34$ , а сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$ .
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$, $AC$ в точках $K$ и $P$; сторона $BC$ в $2$ раза меньше стороны $AB$.
Четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $K$ равен внутреннему при $C$: $\angle AKP=\angle ACB$. Угол $A$ — общий.
Значит $\triangle AKP\sim\triangle ACB$, и соответственные стороны пропорциональны.
Отсюда $\dfrac{KP}{BC}=\dfrac{AP}{AB}$. Поскольку $AP=34$, а $AB=2\,BC$, получаем $KP=\dfrac{34}{2}=17$.
Длина отрезка $KP$ равна $17$.
17