ID: 00005978
Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Источник: ФИПИ
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч (по смыслу $v>3$).
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Против течения | $v-3$ | $\dfrac{72}{v-3}$ | $72$ |
По течению | $v+3$ | $\dfrac{72}{v+3}$ | $72$ |
Против течения лодка идёт со скоростью $v-3$ км/ч, обратно (по течению) — со скоростью $v+3$ км/ч.
Путь в каждую сторону одинаков и равен $72$ км. Время против течения $\dfrac{72}{v-3}$ ч, по течению $\dfrac{72}{v+3}$ ч.
На обратный путь ушло на $2$ ч меньше, значит время против течения больше на $2$:
$$\dfrac{72}{v-3}-\dfrac{72}{v+3}=2.$$
Приведём к общему знаменателю $v^2-9$: в числителе $72(v+3)-72(v-3)=432$, поэтому
$$432=2\,(v^2-9).$$
Отсюда $v^2=9+\dfrac{432}{2}=225$, и значит $v=15$ км/ч (отрицательное значение отбрасываем).
Проверка: $\dfrac{72}{12}-\dfrac{72}{18}=2$ ч — верно. Скорость лодки в неподвижной воде равна $15$ км/ч.
15 км/ч.