ID: 00005977
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Источник: ФИПИ
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч (по смыслу $v>2$).
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Против течения | $v-2$ | $\dfrac{297}{v-2}$ | $297$ |
По течению | $v+2$ | $\dfrac{297}{v+2}$ | $297$ |
Против течения лодка идёт со скоростью $v-2$ км/ч, обратно (по течению) — со скоростью $v+2$ км/ч.
Путь в каждую сторону одинаков и равен $297$ км. Время против течения $\dfrac{297}{v-2}$ ч, по течению $\dfrac{297}{v+2}$ ч.
На обратный путь ушло на $3$ ч меньше, значит время против течения больше на $3$:
$$\dfrac{297}{v-2}-\dfrac{297}{v+2}=3.$$
Приведём к общему знаменателю $v^2-4$: в числителе $297(v+2)-297(v-2)=1188$, поэтому
$$1188=3\,(v^2-4).$$
Отсюда $v^2=4+\dfrac{1188}{3}=400$, и значит $v=20$ км/ч (отрицательное значение отбрасываем).
Проверка: $\dfrac{297}{18}-\dfrac{297}{22}=3$ ч — верно. Скорость лодки в неподвижной воде равна $20$ км/ч.
20 км/ч