ID: 00005975
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Источник: ФИПИ
Это задача на движение по воде. Обозначим собственную скорость баржи (скорость в неподвижной воде) за $v$ км/ч; по смыслу $v>5$, иначе баржа не пойдёт против течения.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
По течению | $v+5$ | $\dfrac{40}{v+5}$ | $40$ |
Против течения | $v-5$ | $\dfrac{30}{v-5}$ | $30$ |
По течению река помогает, поэтому скорость баржи там $v+5$ км/ч; против течения река мешает, и скорость равна $v-5$ км/ч.
Время — это путь, делённый на скорость. По течению баржа прошла $40$ км за $\dfrac{40}{v+5}$ ч, а против течения $30$ км за $\dfrac{30}{v-5}$ ч.
Весь путь занял $5$ ч, поэтому сумма времён равна $5$:
$$\dfrac{40}{v+5}+\dfrac{30}{v-5}=5.$$
Умножим обе части на $(v+5)(v-5)=v^2-25$ и раскроем скобки:
$$40(v-5)+30(v+5)=5(v^2-25).$$
После приведения подобных получаем квадратное уравнение $v^2-14v-15=0$.
По теореме Виета его корни $v=15$ и $v=-1$. Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому $v=15$.
Проверим: скорости $20$ и $10$ км/ч, тогда время $\dfrac{40}{20}+\dfrac{30}{10}=5$ ч — совпало с условием.
Собственная скорость баржи равна $15$ км/ч.
15 км/ч.