ID: 00005860
Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-1)^2} + \dfrac{2}{x-1} - 3 = 0$ .
Источник: Сборник Ященко 2026
Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, то есть $x\ne 1$.
Заметим, что выражение составлено из $\dfrac{1}{(x-1)}$ и его квадрата. Сделаем замену $u=\dfrac{1}{(x-1)}$; тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=u^2$.
Уравнение превращается в квадратное: $$u^2+2u-3=0.$$
Его корни: $u=-3$ и $u=1$.
Вернёмся к переменной $x$, решив $\dfrac{1}{(x-1)}=u$ для каждого значения $u$. Получаем $x=\dfrac{2}{3};\ 2$.
Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ, поэтому корни уравнения: $x=\dfrac{2}{3};\ 2$.
$x₁ = \dfrac{2}{3}, x₂ = 2$