Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00005860

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, то есть $x\ne 1$.

Заметим, что выражение составлено из $\dfrac{1}{(x-1)}$ и его квадрата. Сделаем замену $u=\dfrac{1}{(x-1)}$; тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=u^2$.

Уравнение превращается в квадратное: $$u^2+2u-3=0.$$

Его корни: $u=-3$ и $u=1$.

Вернёмся к переменной $x$, решив $\dfrac{1}{(x-1)}=u$ для каждого значения $u$. Получаем $x=\dfrac{2}{3};\ 2$.

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ, поэтому корни уравнения: $x=\dfrac{2}{3};\ 2$.