ID: 00005859
Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-3)^2} - \dfrac{3}{x-3} - 4 = 0$ .
Источник: ФИПИ
Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, то есть $x\ne 3$.
Заметим, что выражение составлено из $\dfrac{1}{(x-3)}$ и его квадрата. Сделаем замену $u=\dfrac{1}{(x-3)}$; тогда $\dfrac{1}{(x-3)^2}=u^2$.
Уравнение превращается в квадратное: $$u^2-3u-4=0.$$
Его корни: $u=-1$ и $u=4$.
Вернёмся к переменной $x$, решив $\dfrac{1}{(x-3)}=u$ для каждого значения $u$. Получаем $x=2;\ \dfrac{13}{4}$.
Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ, поэтому корни уравнения: $x=2;\ \dfrac{13}{4}$.
x₁ = 2, x₂ = 3,25