Задание 17 ОГЭ по математике: Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD . Радиус…

№2. Задание 17

ID: 00004921

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину $A$ , равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Введём сторону квадрата $a$ и поместим $A$ и $O$ в координаты: тогда $O$ — середина стороны $CD$ , а расстояние $OA$ есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $\dfrac{a}{2}$ .

По теореме Пифагора $OA^2=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5a^2}{4}$ , значит площадь $a^2=\dfrac{4\,OA^2}{5}$ .

Подставляем $OA=3$ :

$S=a^2=\dfrac{4\cdot\left(3\right)^2}{5}=7{,}2.$

Ответ

7,2