ID: 00002685
Укажите решение неравенства
$x−x^2<0$
1) $(0 ;1 )$
2) $(0 ;+∞ )$
3) $(1 ;+∞ )$
4) $(−∞ ;0 )∪ (1 ;+∞ )$
Источник: ФИПИ
Вынесем общий множитель $x$ за скобку:
$$x - x^2 = x\,(1 - x).$$Произведение равно нулю в точках $x = 0$ и $x = 1$.
Внимание на старший коэффициент: при $x^2$ стоит МИНУС, значит парабола имеет ветви ВНИЗ. Такая парабола положительна МЕЖДУ корнями и отрицательна ВНЕ корней — ровно наоборот по сравнению с привычной параболой ветвями вверх.
Неравенство $x - x^2 \lt 0$ требует строго отрицательных значений, поэтому решение — вся прямая вне интервала корней.
Корни не входят (строгое неравенство).
Множество решений: $(-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)$.
Такое множество решений среди вариантов стоит под номером 4.
Проверка: подставим $x = 2$: получаем $1\cdot2 - 4 = -2$ — отрицательное число; и точка $2$ входит в наш ответ. Сходится.