ID: 00000622
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16.
Источник: ФИПИ
Вершины треугольника делят окружность на три дуги в отношении $2:3:7$; вместе они дают полную окружность $360^\circ$.
Одна часть отношения равна $\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ$, поэтому дуги равны $60^\circ$, $90^\circ$ и $210^\circ$.
Меньшая сторона треугольника стягивает наименьшую дугу — дугу в $60^\circ$.
Длина хорды связана с радиусом формулой (через вписанный угол) $a=2R\sin\dfrac{60^\circ}{2}=2R\sin30^\circ$.
Так как $\sin30^\circ=0{,}5$, получаем $16=2R\cdot0{,}5=R$, откуда $R=16$.
Радиус окружности равен $16$.
16