Задание 18 Базовая Математика №00051561

У всех четырёх выражений особые точки одни и те же — $3$ и $4$. На рисунках обе точки выколоты: неравенства строгие, а при $x=4$ дроби В и Г вообще не существуют.

Прочитаем рисунки: 1) $x\lt3$ или $x\gt4$; 2) $x\gt3$, кроме $x=4$; 3) $3\lt x\lt4$; 4) $x\lt4$, кроме $x=3$.

А) $(x-4)^2(x-3)\gt0$. Множитель $(x-4)^2$ положителен при всех $x\ne4$, а при $x=4$ всё произведение равно $0$. Значит, нужно $x-3\gt0$ и $x\ne4$: $x\gt3$, кроме $4$ — рисунок 2.

Б) $(x-3)(x-4)\gt0$: произведение положительно, когда оба множителя одного знака, то есть $x\lt3$ или $x\gt4$ — рисунок 1.

В) $\dfrac{(x-3)^2}{x-4}\lt0$. Числитель не бывает отрицательным, а при $x=3$ он равен нулю — тогда и дробь равна $0$, это не подходит. В остальных точках знак дроби задаёт знаменатель: $x-4\lt0$, $x\lt4$. Итого $x\lt4$, кроме $3$ — рисунок 4.

Г) $\dfrac{x-3}{x-4}\lt0$: частное отрицательно, когда числитель и знаменатель разных знаков, то есть $3\lt x\lt4$ — рисунок 3.

Проверим Г числом $x=3{,}5$: $\dfrac{0{,}5}{-0{,}5}=-1\lt0$ — верно.

Получаем: А — 2, Б — 1, В — 4, Г — 3.